Kullanılan sayılar
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
İkilik sistem 1.001100111011101...
Onluk sistem 1.2020569031595942854...
Sonsuz kesir olarak yazılışı
Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir. Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.
Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri
Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.
Apéry teoremi
Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.
Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.
Seri şeklinde yazılışı
Leonhard Euler (Euler 1773) 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir (Srivastava 2000, s. 571 (1.11)):
Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.
Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, (Plouffe 1998):
ve
ifadeleridir.
ζ(2n + 1)'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.
Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:
