Egtmci
Katılımcı
Bir doğal sayının çarpanları, bölenleri ve katları nasıl bulunur önceki konumuzda öğrendik. Şimdi ise asal sayılar nedir, bir sayı asal çarpanlarına nasıl ayrılır, çarpan ağacı ve bölen listesi nasıl yapılır?
ASAL SAYILAR
1 ve kendisinden başka hiç bir sayma sayısına tam bölünemeyen 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Diğer bir ifade ile çarpanları sadece 1 ve kendisi olan 1'den büyük doğal sayılardır.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... sayıları birer asal sayıdır.
ÖRNEK: 2, 5, 4, 15 sayılarından hangileri asaldır bulalım.
2 sayısı sadece 1 ve 2'ye kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
5 sayısı sadece 1 ve 5'e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
4 sayısı 1'e, 2'ye ve 4'e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
15 sayısı 1'e, 3'e, 5'e ve 15'e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
ASAL SAYILAR İLE İLGİLİ BİLGİLER
YÜZLÜK TABLODA ASAL SAYILAR / ERATOSTHENES KALBURU
10 x 10'luk bir 100'lük tabloda 1'den 100'e kadar olan asal sayıları bulabiliriz. Bunun için yapmamız gereken ilk satırdaki asal sayıların kendileri dışındaki katlarına çarpı koymak. Geriye kalan sayılar asal sayılardır. Aşağıdaki Eratosten Kalburu'nu inceleyiniz.
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için iki yöntem kullanabiliriz. Bunlar çarpan ağacı ve bölen listesidir.
1) ÇARPAN AĞACI
Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim.
Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.
NOT: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.
ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.
36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3'tür. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:
ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.
60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5'tir. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:
SORU: Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini birlikte yapalım, kalan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun.
Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir. Alttan başlayarak
A = 2.2 = 4
B = 2.4 = 8
C = 5.8 = 40 bulunur.
2) BÖLEN LİSTESİ (Asal Çarpanlar Algoritması)
Bölen listesi nedir, nasıl yapılır görelim.
Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1'i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.
NOT: Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.
ÖRNEK: 36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.
SORU: Aşağıdaki bölen listelerinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Birinci bölen listesi örneğini birlikte yapalım, kalan bölen listesi örnekleri sizin olsun.
Bölen listesinde soldaki sayıyı sağındaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız. Alttan başlayarak
A : 3 = 5 olacağı için A = 15
B : 2 = 15 olacağı için B = 30
C : 2 = 30 olacağı için A = 60 bulunur.
ASAL SAYILAR
1 ve kendisinden başka hiç bir sayma sayısına tam bölünemeyen 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Diğer bir ifade ile çarpanları sadece 1 ve kendisi olan 1'den büyük doğal sayılardır.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... sayıları birer asal sayıdır.
ÖRNEK: 2, 5, 4, 15 sayılarından hangileri asaldır bulalım.
2 sayısı sadece 1 ve 2'ye kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
5 sayısı sadece 1 ve 5'e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
4 sayısı 1'e, 2'ye ve 4'e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
15 sayısı 1'e, 3'e, 5'e ve 15'e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
ASAL SAYILAR İLE İLGİLİ BİLGİLER
- 1 asal sayı değildir.
- 2 en küçük asal sayıdır.
- 2'den başka çift asal sayı yoktur. (Çünkü hepsi 2'ye de bölünür.)
- Asal Sayılar Hakkında Ek Bilgiler
- 1'den 200'e kadar olan asal sayılar
- İlk 1000 Asal Sayı
YÜZLÜK TABLODA ASAL SAYILAR / ERATOSTHENES KALBURU
10 x 10'luk bir 100'lük tabloda 1'den 100'e kadar olan asal sayıları bulabiliriz. Bunun için yapmamız gereken ilk satırdaki asal sayıların kendileri dışındaki katlarına çarpı koymak. Geriye kalan sayılar asal sayılardır. Aşağıdaki Eratosten Kalburu'nu inceleyiniz.
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için iki yöntem kullanabiliriz. Bunlar çarpan ağacı ve bölen listesidir.
1) ÇARPAN AĞACI
Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim.
Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.
NOT: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.
ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.
36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3'tür. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:
ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.
60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5'tir. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:
SORU: Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini birlikte yapalım, kalan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun.
Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir. Alttan başlayarak
A = 2.2 = 4
B = 2.4 = 8
C = 5.8 = 40 bulunur.
2) BÖLEN LİSTESİ (Asal Çarpanlar Algoritması)
Bölen listesi nedir, nasıl yapılır görelim.
Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1'i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.
NOT: Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.
ÖRNEK: 36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.
SORU: Aşağıdaki bölen listelerinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Birinci bölen listesi örneğini birlikte yapalım, kalan bölen listesi örnekleri sizin olsun.
Bölen listesinde soldaki sayıyı sağındaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız. Alttan başlayarak
A : 3 = 5 olacağı için A = 15
B : 2 = 15 olacağı için B = 30
C : 2 = 30 olacağı için A = 60 bulunur.
