Örnek 1: Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır?
Çözüm: 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için X in alabileceği değerler 0 2 4 6 8
olmalıdır. Oysa bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla X in alabileceği değerler 0 6 8 dir. Bu değerlerin toplamı 0 + 6 + 8 = 14 olur.
Örnek 2: 5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden
1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k olmalıdır. Buradan 16 + A = 3 . k olur. Böylece A 2 5 8 değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla bu değerlerin toplamı 2 + 5 + 8 = 15 olarak bulunur.
Örnek 3: İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine görem + n = 3 . k olması gerekir. O halde 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur: 3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )
= 5 + 3 . k
= 3 + 2 + 3 . k
= 2 + 3 . k Kalan = 2 dir.
Örnek 4: Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm: 152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için sayının son iki basamağının yani 2X in 4 ün katları olması gerekir. O halde X
0 4 8 ... (1)
değerlerini alırsa 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde X
2 6
değerlerini almalıdır. Dolayısıyla bu değerlerin toplamı2 + 6 = 8olur.
Örnek 5: 666 + 5373toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: 666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup kalan 2 dir.
5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup kalan 1 dir.
Bu kalanlar toplanarak toplamın kalanı 2 + 1 = 3 bulunur.
Örnek 6: 99999 . 23586 . 793423 . 458 çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla
99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 2 dir.
23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.
793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
Bu kalanların çarpımı 2 . 1 . 3 . 3 = 18 olur. 18 in 5 e bölümünden kalan ise 3 tür.
Örnek 7: Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı 6 ile tam olarak bölündüğüne göre m + n in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için n nin 0 2 4 6 8 olması gerekir. m + n nin en büyük olması için n = 8 olmalıdır. Böylece 3m4n sayısı 3m48 olur. 3m48 sayısının aynı zamanda 3 e bölünmesi gerektiğinden 3 + m + 4 + 8 = m + 3 olur ve böylece m şu değerleri alabilir: 0 3 6 9
m + n nin en büyük olması için m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla m = 9 ve n = 8 için m + n nin en büyük değeri
m + n = 9 + 8 = 17 olur.
- 2m + 15 = 7.k Buradan m = 4 olur.
Örnek 8: 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına
bakılmalıdır. Dolayısıyla 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız. 28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.
O halde 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan 4 tür.
Örnek 9: 10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Sayının rakamlarının toplamını alıp 9 un katlarını atmalıyız.
Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan 4 + 0 = 4 bulunur.
O halde 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.
Örnek 10: Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre m kaç olmalıdır?
Çözüm: Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise kalan odur.
Bu nedenle 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre m = 3 olmalıdır.
Örnek 11: Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 0 1 2 8 8 5 6 3
+ - + - + - + - +
Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )= 26 – 16 = 10 olarak bulunur.
Örnek 13: Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?
Çözüm: Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.
Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla n = 0 olmalıdır. Böylece verilen sayı 5m230 olur.Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla 5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k m + 10 = 3.k m = 2 5 8 olur. O halde m = 2 5 8 ve n = 0 olmalıdır.
Çözüm: 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için X in alabileceği değerler 0 2 4 6 8
olmalıdır. Oysa bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla X in alabileceği değerler 0 6 8 dir. Bu değerlerin toplamı 0 + 6 + 8 = 14 olur.
Örnek 2: 5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden
1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k olmalıdır. Buradan 16 + A = 3 . k olur. Böylece A 2 5 8 değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla bu değerlerin toplamı 2 + 5 + 8 = 15 olarak bulunur.
Örnek 3: İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine görem + n = 3 . k olması gerekir. O halde 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur: 3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )
= 5 + 3 . k
= 3 + 2 + 3 . k
= 2 + 3 . k Kalan = 2 dir.
Örnek 4: Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm: 152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için sayının son iki basamağının yani 2X in 4 ün katları olması gerekir. O halde X
0 4 8 ... (1)
değerlerini alırsa 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde X
2 6
değerlerini almalıdır. Dolayısıyla bu değerlerin toplamı2 + 6 = 8olur.
Örnek 5: 666 + 5373toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: 666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup kalan 2 dir.
5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup kalan 1 dir.
Bu kalanlar toplanarak toplamın kalanı 2 + 1 = 3 bulunur.
Örnek 6: 99999 . 23586 . 793423 . 458 çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla
99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 2 dir.
23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.
793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
Bu kalanların çarpımı 2 . 1 . 3 . 3 = 18 olur. 18 in 5 e bölümünden kalan ise 3 tür.
Örnek 7: Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı 6 ile tam olarak bölündüğüne göre m + n in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için n nin 0 2 4 6 8 olması gerekir. m + n nin en büyük olması için n = 8 olmalıdır. Böylece 3m4n sayısı 3m48 olur. 3m48 sayısının aynı zamanda 3 e bölünmesi gerektiğinden 3 + m + 4 + 8 = m + 3 olur ve böylece m şu değerleri alabilir: 0 3 6 9
m + n nin en büyük olması için m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla m = 9 ve n = 8 için m + n nin en büyük değeri
m + n = 9 + 8 = 17 olur.
- 2m + 15 = 7.k Buradan m = 4 olur.
Örnek 8: 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına
bakılmalıdır. Dolayısıyla 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız. 28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.
O halde 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan 4 tür.
Örnek 9: 10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Sayının rakamlarının toplamını alıp 9 un katlarını atmalıyız.
Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan 4 + 0 = 4 bulunur.
O halde 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.
Örnek 10: Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre m kaç olmalıdır?
Çözüm: Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise kalan odur.
Bu nedenle 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre m = 3 olmalıdır.
Örnek 11: Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 0 1 2 8 8 5 6 3
+ - + - + - + - +
Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )= 26 – 16 = 10 olarak bulunur.
Örnek 13: Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?
Çözüm: Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.
Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla n = 0 olmalıdır. Böylece verilen sayı 5m230 olur.Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla 5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k m + 10 = 3.k m = 2 5 8 olur. O halde m = 2 5 8 ve n = 0 olmalıdır.
