Çember analitiği

- Merkezi ve Yarıçapı Bilinen Çemberin Denklemi Analitik düzlemde alınan bir M(a,b) noktasından r birim uzaklıktaki noktaların geometrik yeri (kümesi) bir çember belirtir. Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çember üzerinde herhangi bir nokta P(x,y) olsun. |PM|=r olmalıdır. Buradan ; bulunur. Bu da (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r 'ye eşittir. Çemberin denklemi (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r dir. 2 - Çemberin Genel Denklemi Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r idi . Bu denklem açılır ve düzenlenirse ; x.x + y.y -2ax -2by +a.a +b.b -r.r =0 olur. Denklemde -2a=A , -2b=B ve a.a+b.b-r.r=C denirse ; x.x+y.y+Ax+By+C=0 elde edilir. A.A+B.B-4C sayısına çember denkleminin diskriminantı denir. NOT : a) A.A+B.B-4C>0 ise x.x+y.y+Ax+By+C=0 denklemi gerçel yarıçaplı bir çember belirtir. Merkezi M(-A/2 , -B/2) olur ve yarıçapı r =(A.A+B.B-4C)/4 olur. b) A.A+B.B-4C=0 ise x.x+y.y+Ax+By+C=0 denklemi bir nokta belirtir. Merkezi M(-A/2 , -B/2) olur ve yarıçapı r=0/4 olacağından sayılmaz. c) A.A+B.B-4C<0 ise x.x+y.y+Ax+By+C=0 denklemi reel bir çember belirtmez . Bu durumda çember sanal yarıçaplı imajiner çemberdir. Kısaca ; 1 - A.A+B.B-4C>0 ise denklem çember belirtir. 2 - A.A+B.B-4C=0 ise denklem nokta belirtir. 3 - A.A+B.B-4C<0 ise denklem boş küme belirtir. (x.x+y.y+Ax+By+C=0 çember denkleminde x.x ile y.y 'nin katsayıları eşit ve xy'li terim olmadığına dikkat ediniz.) 3 - Bir Nokta ile Bir Çemberin Konumu (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r çemberi düzlemi ikiye ayırır. Bu iki bölge ; 1) {(x,y) |(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)r.r } kümesi yani çemberin dış bölgesi olur. (A(x,y) noktası ile çemberin birbirine göre konumu incelenirken noktanın çemberdeki görüntüsü hesaplanır. Bu durum noktanın çembere kuvveti biçiminde de yorumlanabilir.) Noktanın çembere kuvvetini P ile gösterirsek ; I - A(j,l) noktasının x.x+y.y=r.r çemberine göre kuvveti ; P= j.j+l.l-(r.r) olur. II - A (j,l) noktasının (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r.r çemberine göre kuvveti P=(j-a)(j-a)+(l-b)(l-b)-r.r olur. III - A (j,l) noktasının x.x+y.y+Ax+By+C=0 çemberine göre kuvveti P=j.j+l.l+Aj+Bl+C=0 olur. Kısaca ; a) P>0 ise nokta çember dışında b) P<0 ise nokta çember içinde c) P=0 ise nokta çemberde olur.