Yutan Eleman Nedir?
Yutan eleman, üzerinde ikili bir işlem bulunan bir kümede özel bir eleman (öğe). Bir küme ve üzerinde ikili bir işlemden oluşmuş matematiksel nesneye grupoit (magma) denir. Bir grupoitte herhangi bir elemanla soldan (ya da sağdan) işleme sokulduğunda hep kendini veren elemana soldan (ya da sağdan) yutan eleman denir.
Herhangi bir halkada yutan eleman tanımı toplamanın etkisiz elemanıyla örtüşür.
(1) Mantıkta {DOĞRU,YANLIŞ} kümesi üzerinde VE ve VEYA ikili işlemleri tanımlıdır. VE işleminin yutan elemanı DOĞRU'dur; VEYA işlemininse YANLIŞ'tır.
(2) \mathbb{R}'den \mathbb{R}'ye fonksiyonlar kümesinde bileşke işlemine göre soldan yutan eleman sabit fonksiyonlardır ve dolayısıyla yutan eleman tek değildir. Sağdan yutan eleman yoktur.
(3) Bir grupta yutan eleman olması için grubun sıfır (tırışka) grup olması gerekir.
(4) (\mathbb{Z},+,x) tamsayılar halkasında çarpma işlemine göre yutan eleman, + işleminin etkisiz elemanı olan 0 sayısıdır.
Halkada yutan eleman
Yukarıda, sıfır (tırışka) olmayan bir grupta yutan elemanının olmadığını oysa \mathbb{Z} halkasında yutan eleman olduğunu gözlemledik. Bu son gözlem genelleştirilebilir: (H,+,*) bir halka olsun. H 'de toplamanın etkisiz elemanını 0 diye gösterelim. H'de her a için x*a=x veren x elemanına yutan eleman deniyordu. x*0=0 ve x*0=x eşitliklerinin ikisinin de doğru olabilmesi ancak x elemanının 0 olmasıyla olasıdır.
Ayrıca, bir halkada yutan eleman, halka eğer tırışka değilse her a için x*a=0 eşitliğini veren tek x elemanı olarak da tanımlanabilir. x, tüm a elemanları için bu eşitliği sağlayan bir eleman olsun.
H tırışka olmayan bir halka olsun. a ve b, H halkasında x+a=b eşitliğini sağlayan birbirinden farklı rastgele iki eleman olsun. Eşitliğin iki tarafını a ile çarpalım: x*a+a*a=ba. Buradan (a+(-b))*a=0 elde edilir. b, a 'dan farklı ve rastgele olduğundan a+(-b), 0'dan farklı ve rastgeledir; bu elemana c diyelim. Her c farklı 0 için c*a=0 eşitliği bize a'nın herhangi bir elemanla çarpıldığında 0 vereceğini söyler. a rastgeleydi, dolayısıyla H'de herhangi iki elemanın çarpımı 0 olacaktır. Böyle bir halka ancak sıfır halka olabilir. Baştaki kabulümüzle çelişen bu durumdan kurtulmak için baştaki b'nin a 'dan farklı olduğu koşulu kaldırılmalı, dolayısıyla x 0 olmalı, yani toplamanın birim elemanı olmalıdır.
Yutan eleman, üzerinde ikili bir işlem bulunan bir kümede özel bir eleman (öğe). Bir küme ve üzerinde ikili bir işlemden oluşmuş matematiksel nesneye grupoit (magma) denir. Bir grupoitte herhangi bir elemanla soldan (ya da sağdan) işleme sokulduğunda hep kendini veren elemana soldan (ya da sağdan) yutan eleman denir.
Herhangi bir halkada yutan eleman tanımı toplamanın etkisiz elemanıyla örtüşür.
(1) Mantıkta {DOĞRU,YANLIŞ} kümesi üzerinde VE ve VEYA ikili işlemleri tanımlıdır. VE işleminin yutan elemanı DOĞRU'dur; VEYA işlemininse YANLIŞ'tır.
(2) \mathbb{R}'den \mathbb{R}'ye fonksiyonlar kümesinde bileşke işlemine göre soldan yutan eleman sabit fonksiyonlardır ve dolayısıyla yutan eleman tek değildir. Sağdan yutan eleman yoktur.
(3) Bir grupta yutan eleman olması için grubun sıfır (tırışka) grup olması gerekir.
(4) (\mathbb{Z},+,x) tamsayılar halkasında çarpma işlemine göre yutan eleman, + işleminin etkisiz elemanı olan 0 sayısıdır.
Halkada yutan eleman
Yukarıda, sıfır (tırışka) olmayan bir grupta yutan elemanının olmadığını oysa \mathbb{Z} halkasında yutan eleman olduğunu gözlemledik. Bu son gözlem genelleştirilebilir: (H,+,*) bir halka olsun. H 'de toplamanın etkisiz elemanını 0 diye gösterelim. H'de her a için x*a=x veren x elemanına yutan eleman deniyordu. x*0=0 ve x*0=x eşitliklerinin ikisinin de doğru olabilmesi ancak x elemanının 0 olmasıyla olasıdır.
Ayrıca, bir halkada yutan eleman, halka eğer tırışka değilse her a için x*a=0 eşitliğini veren tek x elemanı olarak da tanımlanabilir. x, tüm a elemanları için bu eşitliği sağlayan bir eleman olsun.
H tırışka olmayan bir halka olsun. a ve b, H halkasında x+a=b eşitliğini sağlayan birbirinden farklı rastgele iki eleman olsun. Eşitliğin iki tarafını a ile çarpalım: x*a+a*a=ba. Buradan (a+(-b))*a=0 elde edilir. b, a 'dan farklı ve rastgele olduğundan a+(-b), 0'dan farklı ve rastgeledir; bu elemana c diyelim. Her c farklı 0 için c*a=0 eşitliği bize a'nın herhangi bir elemanla çarpıldığında 0 vereceğini söyler. a rastgeleydi, dolayısıyla H'de herhangi iki elemanın çarpımı 0 olacaktır. Böyle bir halka ancak sıfır halka olabilir. Baştaki kabulümüzle çelişen bu durumdan kurtulmak için baştaki b'nin a 'dan farklı olduğu koşulu kaldırılmalı, dolayısıyla x 0 olmalı, yani toplamanın birim elemanı olmalıdır.
