Tersçapraz
Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) AT şeklinde ifade edilir (diğer gösterimler A′, Atr or At). Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:
A dizeyinin ilkköşegene göre yansıması alınarak AT elde edilir,
A dizeyinin satırları AT dizeyinin sütünları olarak yazınca elde edilir,
veya A dizeyinin sütünları AT dizeyinin satırları olarak yazılınca elde edilir.
AT dizeyinin (i,j) ögesi A dizeyinin (j,i) ile gösterilen ögesine eşittir:
Eğer A dizeyi m × n bir dizey ise AT dizeyi n × m bir dizeydir. Bir sayılın (skaler) tersçaprazı yine o sayıldır.
Örnekler
Özellikler
A, B dizeyleri ve c sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:
Bir dizeyin tersçaprazının tersçaprazı kendisidir.
Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.
Dizey çarpımının tersçaprazı yukardaki gibidir; dizeylerin çarpımının sırası değişir ve iki dizeyinde tersçaprazı alınır. Dizey çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.
Sayıl ile dizey çarpımının tersçaprazı alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve dizeyin tersçaprazı alınır. Sayılın tersçaprazı kendisine eşittir ve dizey ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.
Kare bir dizey için dizeyin dizey değerliği (determinantı) ile o dizeyin tersçaprazının dizey değerliği aynıdır.
İki yöneyin, a ve b, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
bu çarpımda ai bi şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i alt imi ve i üst iminin aynı olması i üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
Tersi alınabilir bir dizeyin tersçaprazının da tersi alınabilir. Yukarıdaki A dizeyinin tersçaprazının tersi ile tersinin tersçaprazı birbirine eşittir. Herhangi bir dizeyin tersinin tersçaprazının tersi kendisine eşittir. A−T şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.
Eğer A kare bir dizey ise bu dizeyin özdeğerleri ile tersçaprazlarının özdeğerleri birbirine eşittir.
Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) AT şeklinde ifade edilir (diğer gösterimler A′, Atr or At). Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:
A dizeyinin ilkköşegene göre yansıması alınarak AT elde edilir,
A dizeyinin satırları AT dizeyinin sütünları olarak yazınca elde edilir,
veya A dizeyinin sütünları AT dizeyinin satırları olarak yazılınca elde edilir.
AT dizeyinin (i,j) ögesi A dizeyinin (j,i) ile gösterilen ögesine eşittir:
Eğer A dizeyi m × n bir dizey ise AT dizeyi n × m bir dizeydir. Bir sayılın (skaler) tersçaprazı yine o sayıldır.
Örnekler
Özellikler
A, B dizeyleri ve c sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:
Bir dizeyin tersçaprazının tersçaprazı kendisidir.
Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.
Dizey çarpımının tersçaprazı yukardaki gibidir; dizeylerin çarpımının sırası değişir ve iki dizeyinde tersçaprazı alınır. Dizey çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.
Sayıl ile dizey çarpımının tersçaprazı alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve dizeyin tersçaprazı alınır. Sayılın tersçaprazı kendisine eşittir ve dizey ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.
Kare bir dizey için dizeyin dizey değerliği (determinantı) ile o dizeyin tersçaprazının dizey değerliği aynıdır.
İki yöneyin, a ve b, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
bu çarpımda ai bi şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i alt imi ve i üst iminin aynı olması i üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
Tersi alınabilir bir dizeyin tersçaprazının da tersi alınabilir. Yukarıdaki A dizeyinin tersçaprazının tersi ile tersinin tersçaprazı birbirine eşittir. Herhangi bir dizeyin tersinin tersçaprazının tersi kendisine eşittir. A−T şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.
Eğer A kare bir dizey ise bu dizeyin özdeğerleri ile tersçaprazlarının özdeğerleri birbirine eşittir.
