Kümeler Tarihi
Kümeler...Matematik dilinde birlik sağlama gereksinimi on dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğ¬ru duyuldu. Bu işi İlk görenlerin başında Alman matematikçi Georg Cantor gelir. Bu birlik kümelerle sağlanır. Zaten sonlu ve sonsuz kümeleri oluşturmak amacında olan Cantor (1845 -1918) bu amaca ilk ulaşanlardan biriydi. Bernard Bolzano (1851) do¬ğal sayıların ötesinde sayılabilme problemini ortaya koyan sonsuz kümeler üzerine olan İlk çalışmasını yayınladı. 1878 yılında Georg Cantorun küme kavramım ortaya atan ilk çalışması yayınlandı. Frege 1893 yılında Aritmetiğin Temel Yasaları isimli ya¬pıtının İlk cildini yayınladı. Bu eserde Cantorunkine çok yakın bir şekilde küme kav¬ramını ortaya koydu. Sayıların kümeye dayalı tanımını verdi.
1903 yılında Russel paradoksu ilk kez ortaya atıldı. Bu paradoks. Fregenin ki¬tabının ikinci cildinde yer aldı. Çalışmanın konusu, matematiğin kümeler kavramı üze¬rine kurulmasını olanaksız kılıyordu. Kendisini öğe olarak kabul eden kümelerin kümesi anlamsızdır şeklinde olan bu paradoks her şeyin küme olarak alınamayacağım ortaya koydu. Ernest Zermelo, paradoksal kümelere olanak vermeyen ilk aksiyom sistemim önerdi. Russell ve Whitehead 1910 yılında dikkat çekici olan Matematiğin İlkeleri isim¬li eserlerini yayınladılar. Paradokslardan kaçınmak için tipler kuramı adı altında karma¬şık bir yazım önerdiler. Bu teknik bazı bilgisayar dilleri için temel oluşturdu.
Abraham Fraenkel, 1922 yılında Zermelonun aksiyom sistemini geliştirdi. Günümüzde Zermelo - Fraenkel İsmiyle anılan bu sistem yaygın bir kullanım alanı buldu. John Von Neumann 1924 yılında kümeler kuramım aksiyomatik hale getirmek için temel iki kavrama, yani paradoks olabilecek sınıflara ve kümelere dayanan bir çözüm önerdi. Kurt Gödel 1940 yılında sonlu ötesi sayıların tanımlanmasında zorunlu olan seçme aksiyomu ve bu sayılara tutarlı bir temel hazırlayan süreklilik varsayımının kuramın diğer aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi. Paul Joseph Cohen 1963 yılında, bu iki önermenin olumsuzunun da kuramın diğer aksiyomlarıyla çelişmediğini gösterdi. Cohenİn süreklilik varsayımı hakkındaki bu sonucu rahatsız edicidir. Nasıl kurulduğu belirtilmeksizin bir doğrunun noktalarının kümesi ve doğal sayıların sayılabilirliği arasında sonsuz büyüklükte keyfi bir sayının sabitleştirilebileceğini işaret eder. Bu konu üzerindeki araştırmalar devam etmektedir.
Kümelerin bu biçimde kurulması sağlandıktan sonra kümelerin dili yazılmıştır. Bu dille kümeler üzerinde bileşim, kesişim, fark. simetrik fark ve tümleyen gibi tanımlar yapılmış ve bu tanımlarla kümelerin kullanılması sağlanmıştır. Kümeler üzerindeki bağıntılar bu dalın bilgisayarlara nasıl yüklenebileceğini göstermiştir. Bu konudaki İlk çalışmaları George Boole (1815 -1864) yapmıştır ikinci ilk adım da Georg Cantor (1845 -1918) tarafından atılmıştır.
Georg Cantor (1845 - 1918)
Cantor. Almanyada Hallede yaşadı ve dersler verdi. Trigonometrik seriler üzerine olan çalışmaları onu sonlu ötesi adım verdiği sayılan bulma düşüncesine ulaştırdı. Bu sayının amacı doğal sayıların ötesinde işlem kapasitesini araştırmaktı. Bu noktadan hareketle kümelerin dilini oluşturma düşüncesine vardı. Çalışmaları bazı çağdaşlarınca İyi anlaşılamadı ve çok sert tartışmalara yol açtı. Ünlü matematikçi David Hilbertin (1862-1943) dediği gibi "Georg Cantorun bizim için kurduğu cennetten hiç kimse bizi kovamaz!" sözü bugün haklılığını kanıtlamıştır.
Kümelerin sıralanması, sıralama tipleri, kümelerin sayılabilmeleri, kardinal sayılar, sonlu ve sonsuz kümeler, kuvvet kümeleri. Cantor sürekliliği bu alanın başlıca konula¬rıdır. Bu konularla yeni yeni modeller oluşturulabilir. Hatta eski mantığın bugün yeni modellerle matematiksel formüle bağlandığı bir gerçektir.
Bu arada Cantor paradoksunu da yazalım. Buna daha çok yalancı paradoksu denir. Eskiçağdan beri bilinen bu paradoksun ilk ifadesi şu şekilde yapılmıştır; bütün Giritliler yalancıdır. Epimenides de Giritlidir. "Ben yalan söylüyorum diyor. Daha kısa bir söyleyişle ben bir yalancıyım. Bu halde Epimenides doğruyu söylüyor mu? Hayır. Çünkü kendisi Giritlidir, o halde yalancıdır. Ama "yalan söylüyorum" derken yalan söy¬lüyorsa o zaman doğruyu söylüyor. Bu durumda çelişki kaçınılmazdır.
