Kutupsal Koordinat sistemi

İntegral hesaplama
0 < b − a < 2π olmak üzere, r(θ) eğrisinin [a, b] kapalı aralığında kalan kısmının altında kalan alanı bulmak için, öncelikle eğri bir Riemann toplamı olarak tanımlanır.

* İlk olarak, [a, b] aralığı n kadar alt aralığa bölünür (burada n, isteğe bağlı seçilmiş pozitif bir tam sayıdır). Böylece, her alt aralığın uzunluğunu temsil eden Δθ, aralığın tüm uzunluğunun (b − a) alt aralık sayısına (n) bölümüne eşit olur.
* Her i = 1, 2, , n alt aralığı için θi'nin alt aralığın orta noktası olduğu kabul edilir ve merkezi kutupta, yarıçapı r(θi) ve merkezî açısı Δθ olan birer sektör çizilir.
* Buna göre, çizilmiş her sektörün alanı şu denklemle verilebilir:


Dolayısıyla, tüm sektörlerin toplam alanı da altta sunulan denklemle tanımlanır:



n alt aralıklarının sayısı ne kadar artarsa, söz konusu alanın ölçümü de gerçek alana o kadar çok yaklaşır. Böylece, [a, b] aralığındaki r(θ) eğrisinin altında kalan alan söyle tanımlanabilir:



Bu ifade, aşağıdaki integralin Riemann toplamıdır:

Vektörel hesaplamalar
Hesaplamalar, denklemlerin kutupsal koordinatlar içinde ifade edilmesi ile bu koordinatlarda uygulanabilir.

, r ve

t zamanına bağlı olmak üzere

pozisyonundaki vektör olsun,

,

yönündeki birim vektör ve

,

için uygun açılardaki birim vektör olsun. Konumun birinci ve ikinci türevleri şunlardır:
.

eğri üzerindeki bir noktayı odak alarak çizilen çizginin süpürdüğü alan olarak alındığında, limit içinde

,

ve

tarafından şekillendirilmiş paralelkenar alanının yarısıdır,

,ve toplam alan

'nın zamana göre integralinin alınması ile bulunur.

Silindirik koordinatlar



Silindirik koordinat sistemi, düzlemden ayrı duran bir noktanın düzleme olan yüksekliğini ölçebilecek üçüncü bir koordinatı iki boyutlu kutupsal koordinat sistemine ekleyerek elde edilir. Bu, kartezyen koordinat sistemini üç boyuta genişletmek için kullanılana benzer bir yöntemdir. İki boyutlu kutupsal koordinat düzlemine dik duran ve kutup noktasından geçen üçüncü koordinat, genellikle hile gösterilir dikdüzlemine Üçüncü koordinat genelde h ile gösterilir. Buna göre de üç silindirik koordinat, (r, θ, h) yazımı ile ifade edilir.

Silindirik koordinatların Kartezyen koordinatlara dönüşümü şu şekilde olur:

Küresel koordinatlar



Kutupsal koordinatlar, (ρ, φ, θ) koordinatları kullanılarak da üç boyuta genişletilebilir. Burada;

• ρ, kutup noktasından olan uzaklık,
• φ, z ekseninden olan açı ("eş enlem" (colatitude) ya da "zirve" (zenith) de denir; 0'dan 180°'ye kadar ölçülür) ve
• θ da kutupsal koordinatlardaki gibi, x ekseninden olan açıdır.

"Küresel koordinat sistemi" olarak adlandırılan bu sistem, Dünya için kullanılan enlem ve boylam sistemine benzerdir:

• enlem, φ'nin tümleyicisidir ve δ = 90° − φ eşitliğiyle belirlenir;
• boylam da l = θ − 180° ile saptanır.^[15]

Küresel koordinat sistemini oluşturan üç koordinatın, Kartezyen sisteme dönüşümü şu şekildedir.

hda